In this section, we improve and get a generalization of results in [9] yielding a better approximation (see also [17–28]).
Lemma 2.1
Suppose that \(\mathcal{Q} : \mathcal{J}\times \Omega _{1} \rightarrow \Omega _{2}\) is a random operator satisfying (1.1) for each \(\mathsf{S},\mathsf{R},\mathsf{A}\in \Omega _{1}\) and \(j\in \mathcal{J}\). Then \(\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times \Omega _{1}\rightarrow \Omega _{2}\) is additive.
Proof
Putting \(\mathsf{S}=\mathsf{R}=\mathsf{A}=0\) in (1.1), we have
$$\begin{aligned} &\Phi ^{2 \mathcal{Q}(j,0) }_{\Theta } \succeq \Phi ^{\mathcal{G}_{1} \mathcal{Q} (j,0) }_{\Theta } \circledast _{M} \Phi ^{\mathcal{G}_{2}( \mathcal{Q} j,0)}_{\Theta } , \end{aligned}$$
and so
$$\begin{aligned} & \Phi ^{ \mathcal{Q}(j,0) }_{\frac{\Theta }{2}} \succeq \Phi ^{ \mathcal{Q} (j,0) }_{ \frac{\Theta }{\max \{\vert \mathcal{G}_{1}\vert , \vert \mathcal{G}_{2}\vert \}}} , \end{aligned}$$
(2.1)
since \(\max \{\vert \mathcal{G}_{1}\vert , \vert \mathcal{G}_{2}\vert \}<2 \), \(\mathcal{Q}(j,0)=0 \) for each \(j\in \mathcal{J} \).
Now, putting \(\mathsf{R}=0 \) in (1.1), we have
$$\begin{aligned} \Phi ^{ \mathcal{Q}(j,\mathsf{S}+\mathsf{A}) - \mathcal{Q}(j, \mathsf{S}) -\mathcal{Q}(j,\mathsf{A})}_{\Theta } \succeq \Phi ^{ \mathcal{G}_{1}[\mathcal{Q} (j,\mathsf{S}+\mathsf{A}) - \mathcal{Q}(j, \mathsf{S})- \mathcal{Q}(j,\mathsf{A})]}_{\Theta } \end{aligned}$$
(2.2)
and
$$\mathcal{Q}(j,\mathsf{S}+\mathsf{A}) -\mathcal{Q}(j,\mathsf{S})- \mathcal{Q}(j,\mathsf{A}) = 0, $$
or \(\mathcal{Q}(j,\mathsf{S}+\mathsf{A}) =\mathcal{Q}(j,\mathsf{S})+ \mathcal{Q}(j,\mathsf{A}) \) for all \(\mathsf{S},\mathsf{A}\in \Omega _{1} \), since \(\vert \mathcal{G}_{1}\vert <2\). So \(\mathcal{Q} \) is additive. □
Theorem 2.2
Suppose the following assumptions hold:
-
\((\Omega _{1},\Phi ,\odot _{M},\oslash _{M})\) is a matrix Menger Banach algebra,
-
\(\phi :\Omega _{1}^{3}\rightarrow \Delta ^{+} \) is a matrix distribution function,
-
there exists a \(\mathfrak{P}<1\) such that \(\phi ^{\frac{\mathsf{S}}{2},\frac{\mathsf{R}}{2}, \frac{\mathsf{A}}{2}}_{\Theta }\succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{R}, \mathsf{A}}_{\frac{2\Theta }{\mathfrak{P}}}\) for all \(\mathsf{S},\mathsf{R},\mathsf{A}\in \Omega _{1}\) and \(\Theta >0\),
-
for all \(\mathsf{S},\mathsf{R},\mathsf{A}\in \Omega _{1}\) and \(\Theta >0\),
$$ \lim_{n\to \infty }\phi ^{\frac{\mathsf{S}}{2^{n}}, \frac{\mathsf{R}}{2^{n}},\frac{\mathsf{A}}{2^{n}}}_{ \frac{\Theta }{2^{n}}}= \nabla ^{0}_{\Theta }, $$
(2.3)
-
the random operator \(\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times \Omega _{1}\rightarrow \Omega _{2}\) satisfies \(\mathcal{Q}(j,0)=0\) and
$$\begin{aligned}& \Phi ^{ \mathcal{Q}(j,\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}) - \mathcal{Q}(j,\mathsf{S}) - \mathcal{Q}(j,\mathsf{R}) -\mathcal{Q}(j, \mathsf{A})}_{\Theta } \\& \quad \succeq \Phi ^{\mathcal{G}_{1} [\mathcal{Q} (j,\mathsf{S}+ \mathsf{A}) - \mathcal{Q}(j,\mathsf{S}) - \mathcal{Q}(j,\mathsf{A})]}_{ \Theta } \odot _{M} \Phi ^{\mathcal{G}_{2}[\mathcal{Q}(j,\mathsf{R}+ \mathsf{A}) - \mathcal{Q}(j,\mathsf{R} )- \mathcal{Q}(j,\mathsf{A} )]}_{ \Theta } \odot _{M} \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{R},\mathsf{A}}_{\Theta } , \end{aligned}$$
(2.4)
for all \(\mathsf{S},\mathsf{R},\mathsf{A}\in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J,}\) and \(\Theta >0\).
Then we can find a unique additive random operator \(\mathcal{V} :\mathcal{J}\times \Omega _{1} \rightarrow \Omega _{2}\) such that
$$\begin{aligned} \Phi ^{\mathcal{Q}(j,\mathsf{S})- \mathcal{V}(j,\mathsf{S})}_{\Theta } \succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{2(1-\mathfrak{P})\Theta }{\mathfrak{P}}} , \end{aligned}$$
(2.5)
for all \(\mathsf{S},\mathsf{R},\mathsf{A}\in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J,}\) and \(\Theta >0\).
Proof
Putting \(\mathsf{A}=0\) and \(\mathsf{S}=\mathsf{R}\) in (2.4), we get
$$\begin{aligned} \Phi ^{ \mathcal{Q}(j,2\mathsf{S}) - 2\mathcal{Q}(j,\mathsf{S})}_{ \Theta } \succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{\Theta } , \end{aligned}$$
(2.6)
for all \(\mathsf{S}\in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J,}\) and \(\Theta >0\). Thus
$$\begin{aligned} \Phi ^{\mathcal{Q}(j,\mathsf{S}) - 2 \mathcal{Q} (j, \frac{\mathsf{S}}{2})}_{\Theta } \succeq \phi ^{\frac{\mathsf{S}}{2}, \frac{\mathsf{S}}{2},0}_{\Theta }\succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{2\Theta }{\mathfrak{P}}}, \end{aligned}$$
(2.7)
for all \(\mathsf{S} \in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J,}\) and \(\Theta >0\). Replacing S by \(\frac{\mathsf{S}}{2^{n}}\) in (2.7), we get
$$ \begin{aligned}[b] \Phi ^{2^{n} \mathcal{Q}(j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}}) - 2^{n+1} \mathcal{Q} (j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n+1}} )}_{\Theta } & \succeq \phi ^{\frac{\mathsf{S}}{2^{n}},\frac{\mathsf{S}}{2^{n}},0}_{ \frac{\Theta }{2^{n-1}\mathfrak{P}}} \\ & \succeq \phi ^{\frac{\mathsf{S}}{2^{n-1}}, \frac{\mathsf{S}}{2^{n-1}},0}_{\frac{2}{\mathfrak{P}}( \frac{\Theta }{2^{n-1}\mathfrak{P}})} \\ & \succeq \cdots \\ & \succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{2}{\mathfrak{P}^{n+1}}\Theta }. \end{aligned} $$
(2.8)
It follows from
$$ 2^{n} \mathcal{Q} \biggl(j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}} \biggr) - \mathcal{Q} (j,\mathsf{S} )=\sum_{k=1}^{n} \biggl(2^{k} \mathcal{Q} \biggl(j,\frac{\mathsf{S}}{2^{k}} \biggr) - 2^{k-1} \mathcal{Q} \biggl(j,\frac{\mathsf{S}}{2^{k-1}} \biggr) \biggr) , $$
and (2.8) that
$$ \Phi ^{2^{n}\mathcal{Q} (j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}} ) - \mathcal{Q} (j,\mathsf{S} )}_{\sum _{k=1}^{n} \frac{\mathfrak{P}^{k}}{2}\Theta }\succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \tau } \odot _{M}\cdots \odot _{M}\phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \Theta }= \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{\Theta } , $$
for all \(\mathsf{S}\in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J}\), \(\Theta >0\). That is,
$$\begin{aligned} \Phi ^{2^{n} \mathcal{Q} (j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}} ) - \mathcal{Q} (j,\mathsf{S} )}_{\Theta }\succeq \phi ^{ \mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{\Theta }{\sum _{k=1}^{n}\frac{\mathfrak{P}^{k}}{2}}}. \end{aligned}$$
(2.9)
Replacing S with \({\frac{\mathsf{S}}{2^{m}}}\) in (2.9), we get
$$\begin{aligned} \Phi ^{2^{n+m} \mathcal{Q}(j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n+m}}) - 2^{m} \mathcal{Q} (j,\frac{\mathsf{S}}{2^{m}} )}_{\Theta } \succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{\Theta }{\sum _{k=m+1}^{n+m}\frac{\mathfrak{P}^{k}}{2}}}. \end{aligned}$$
(2.10)
Since \(\phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{\Theta }{\sum _{k=m+1}^{n+m}\frac{\mathfrak{P}^{k}}{2}}}\) tends to \(\nabla ^{0}_{\Theta }\) as \(n,m\to \infty \), we conclude that the sequence \(\{2^{n} \mathcal{Q}(j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}} )\}\) is Cauchy for all \(\mathsf{S} \in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J}\). Since \(\Omega _{2}\) is a matrix Menger Banach algebra, the sequence \(\{2^{n} \mathcal{Q}(j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}} )\}\) is convergent. Consider the random operator \(\mathcal{V} :\mathcal{J}\times \Omega _{1}\rightarrow \Omega _{2}\) defined by
$$ \mathcal{V}(j,\mathsf{S}) : = \lim_{k\to \infty } 2^{k} \mathcal{Q} \biggl(j,\frac{\mathsf{S}}{2^{k}} \biggr) , $$
for all \(\mathsf{S} \in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J}\). Putting \(m =0\) and letting \(n \to \infty \) in (2.10), we obtain
$$\begin{aligned} \Phi ^{\mathcal{Q}(j,\mathsf{S})- \mathcal{V}(j,\mathsf{S})}_{\Theta } \succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{2(1-\mathfrak{P})\Theta }{\mathfrak{P}}} , \end{aligned}$$
(2.11)
for all \(\mathsf{S} \in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J,}\) and \(\Theta >0\).
Now, (2.4) implies that
$$ \begin{aligned} &\Phi ^{\mathcal{V}(j,\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}) - \mathcal{V}(j,\mathsf{S}) -\mathcal{V}(j,\mathsf{R})+\mathcal{V}(j, \mathsf{A})}_{\Theta } \\ & \quad = \lim_{n\to \infty } \Phi ^{2^{n} ( \mathcal{Q}(j, \frac{\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}}{2^{n}}) - \mathcal{Q}(j, \frac{\mathsf{S}}{2^{n}}) -\mathcal{Q} (j,\frac{\mathsf{R}}{2^{n}}) - \mathcal{Q} (j,\frac{\mathsf{A}}{2^{n}}))}_{\Theta } \\ & \quad \succeq \lim_{n\to \infty }\Phi ^{ 2^{n} \mathcal{G}_{1}[ \mathcal{Q} (j,\frac{\mathsf{S}+\mathsf{A}}{2^{n}}) - \mathcal{Q}(j, \frac{\mathsf{S}}{2^{n}}) - \mathcal{Q} (j,\frac{\mathsf{A}}{2^{n}})]}_{ \Theta }\\ &\qquad {}\odot _{M} \Phi ^{2^{n} \mathcal{G}_{2} [\mathcal{Q} (j, \frac{\mathsf{R}+\mathsf{A}}{2^{n}})-\mathcal{Q} (j, \frac{\mathsf{R}}{2^{n}})-\mathcal{Q}(j,\frac{\mathsf{A}}{2^{n}})]}_{ \Theta } \odot _{M}\lim_{n\to \infty } \phi ^{\frac{\mathsf{S}}{2^{n}}, \frac{\mathsf{S}}{2^{n}},0}_{\frac{\Theta }{2^{n}}} \\ &\quad \succeq \Phi ^{\mathcal{G}_{1}[ \mathcal{V} (j,\mathsf{S}+\mathsf{A}) - \mathcal{V} (j,\mathsf{S}) - \mathcal{V} (j,\mathsf{A})] } _{\Theta } \circledast _{M} \Phi ^{ \mathcal{G}_{2} [\mathcal{V} (j,\mathsf{R}+ \mathsf{A}) -\mathcal{V} (j,\mathsf{R})-\mathcal{V}(j,\mathsf{A})]} _{ \Theta }, \end{aligned} $$
for all \(\mathsf{S},\mathsf{R},\mathsf{A}\in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J}\), \(\Theta >0\), since \(\phi ^{\frac{x}{2^{n}},\frac{\mathsf{S}}{2^{n}},0}_{ \frac{\Theta }{2^{n}}} \) tends to \(\nabla ^{0}_{\Theta }\) as \(n \to \infty \). Thus
$$ \Phi ^{\mathcal{V}(j,\mathsf{S}+\mathsf{R}+\mathsf{A}) - \mathcal{V}(j, \mathsf{S}) - \mathcal{V}(j,\mathsf{R}) -\mathcal{V}(j,\mathsf{A})}_{ \Theta } \succeq \Phi ^{\mathcal{G}_{1} [\mathcal{V}(j,\mathsf{S}+ \mathsf{A}) - \mathcal{V} (j,\mathsf{S}) - \mathcal{V}(j,\mathsf{A})]}_{ \Theta } \circledast _{M} \Phi ^{\mathcal{G}_{2}[\mathcal{V}(j, \mathsf{R}+\mathsf{A}) - \mathcal{V}(j,\mathsf{R} )- \mathcal{V}(j, \mathsf{A})]}_{\Theta }, $$
for all \(\mathsf{S},\mathsf{R},\mathsf{A}\in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J}\), \(\Theta >0\). Lemma 2.1 implies that the random operator \(\mathcal{V} :\mathcal{J}\times \Omega _{1}\rightarrow \Omega _{2}\) is stochastic additive.
Now, to prove the uniqueness of the random operator \(\mathcal{V}\), suppose that there exists a stochastic additive random operator \(\mathcal{V}^{\prime }:\mathcal{J}\times \Omega _{1} \rightarrow \Omega _{2}\) which satisfies (2.5). Then
$$\begin{aligned}& \Phi ^{\mathcal{V}(j,\mathsf{S}) - \mathcal{V}^{\prime }(j,\mathsf{S})}_{ \Theta } = \lim_{n\to \infty } \Phi ^{2^{n}\mathcal{V} (j, \frac{\mathsf{S}}{2^{n}} ) - 2^{n} \mathcal{V}^{\prime } (j, \frac{\mathsf{S}}{2^{n}} )}_{\Theta }, \\& \begin{aligned} \Phi ^{2^{n}\mathcal{V} (j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}} ) - 2^{n} \mathcal{V}^{\prime } (j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}} )}_{ \Theta } &\succeq \Phi ^{2^{n}\mathcal{V} (j, \frac{\mathsf{S}}{2^{n}} ) - 2^{n}\mathcal{Q} (j, \frac{\mathsf{S}}{2^{n}} )}_{\frac{\Theta }{2}} \odot _{M} \Phi ^{2^{n} \mathcal{V}^{\prime } ( j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}} )- 2^{n} \mathcal{Q} (j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}} )}_{ \frac{\Theta }{2}} \\ & \succeq \phi ^{\frac{\mathsf{S}}{2^{n}},\frac{\mathsf{S}}{2^{n}},0}_{ \frac{2(1-\mathfrak{P})\Theta }{2^{n}\mathfrak{P}}} \\ &\succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{2(1-\mathfrak{P})\Theta }{\mathfrak{P}^{n+1}}}. \end{aligned} \end{aligned}$$
Since \(\lim_{n\to \infty }\frac{2(1-\mathfrak{P})}{\mathfrak{P}^{n+1}}= \infty \), we get that \(\phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{2(1-\mathfrak{P})\Theta }{\mathfrak{P}^{n+1}}}\) tends to \(\nabla ^{0}_{\Theta }\) as \(n \to \infty \).
Thus we conclude that \(\Phi ^{ 2^{n}\mathcal{V} (j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}} ) - 2^{n} \mathcal{V}^{\prime } (j,\frac{\mathsf{S}}{2^{n}} )}_{ \Theta }=1\) for all \(\mathsf{S}\in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J}\), \(\Theta >0\). So \(\mathcal{V}(j,\mathsf{S})=\mathcal{V}^{\prime }(j,\mathsf{S})\) for all \(\mathsf{S} \in \Omega _{1}\), and \(j\in \mathcal{J}\). □
Theorem 2.3
Suppose \((\Omega _{1},\Phi ,\odot _{M},\oslash _{M})\) is a matrix Menger Banach algebra and \(\phi :\Omega _{1}^{3}\rightarrow \Delta ^{+} \) is a matrix distribution function such that there exists a \(\mathfrak{P}<1\) with \(\phi ^{\mathsf{S},\mathsf{R},0}_{\Theta }\succeq \phi ^{ \frac{\mathsf{S}}{2},\frac{\mathsf{R}}{2},0}_{ \frac{\Theta }{2\mathfrak{P}}}\) for all \(\mathsf{S},\mathsf{R}\in \Omega _{1}\), \(\lim_{n\to \infty }\phi ^{2^{n}\mathsf{S},2^{n}\mathsf{R},0}_{2^{n} \Theta }=\nabla ^{0}_{\Theta }\) for any \(\mathsf{S},\mathsf{R}\in \Omega _{1}\), \(\Theta >0\). Assume that a random operator \(\mathcal{Q}:\mathcal{J}\times \Omega _{1}\rightarrow \Omega _{2}\) satisfies (2.4) and \(\mathcal{Q}(j,\mathsf{S})=0\) for all \(\mathsf{S},\mathsf{R}\in \Omega _{1}\) and \(j \in \mathcal{J}\). Then there exists a unique additive random operator \(\mathcal{V} :\mathcal{J}\times \Omega _{1} \rightarrow \Omega _{2}\) such that
$$\begin{aligned} \Phi ^{\mathcal{Q}(j,\mathsf{S})- \mathcal{V}(j,\mathsf{S})}_{\Theta } \succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{2(1-\mathfrak{P})\Theta } , \end{aligned}$$
(2.12)
for all \(\mathsf{S} \in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J,}\) and \(\Theta >0\).
Proof
Putting \(\mathsf{A}=0\) and \(\mathsf{S}= \mathsf{R}\) in (2.4), we have
$$\begin{aligned} \Phi ^{\frac{1}{2}\mathcal{Q}(j,2\mathsf{S}) - \mathcal{Q}(j, \mathsf{S})}_{\Theta } \succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{2 \Theta }, \end{aligned}$$
(2.13)
for all \(\mathsf{S} \in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J,}\) and \(\Theta >0\). Thus
$$\begin{aligned} \Phi ^{\frac{1}{2}\mathcal{Q}(j,\mathsf{S}) - \mathcal{Q} (j,2 \mathsf{S} )}_{\Theta } \succeq \phi ^{2t,2t,0}_{\Theta }\succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{\frac{\Theta }{2\mathfrak{P}}} , \end{aligned}$$
(2.14)
for all \(\mathsf{S} \in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J,}\) and \(\Theta >0\). Replacing S by \(2^{n}\mathsf{S}\) in (2.14), we have
$$\begin{aligned} \Phi ^{\frac{1}{2^{n}}\mathcal{Q}(j,2^{n}\mathsf{S}) - \frac{1}{2^{n+1}} \mathcal{Q} (j,2^{n+1}\mathsf{S} )}_{ \Theta } \succeq \phi ^{2^{n}\mathsf{S},2^{n}\mathsf{S},0}_{2\times 2^{n} \Theta } \succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{2 \times 2^{n}}{(2\mathfrak{P})^{n}}\Theta }. \end{aligned}$$
(2.15)
From
$$ \frac{1}{2^{n}} \mathcal{Q} \bigl(j,2^{n}\mathsf{S} \bigr) - \mathcal{Q} (j,\mathsf{S} )=\sum_{k=0}^{n-1} \biggl( \frac{1}{2^{k+1}}\mathcal{Q} \bigl(j,2^{k+1}\mathsf{S} \bigr) - \frac{1}{2^{k}} \mathcal{Q} \bigl(j,2^{k}\mathsf{S} \bigr) \biggr) $$
and (2.15), we get
$$ \Phi ^{\frac{1}{2^{n}}\mathcal{Q} (j,2^{n}\mathsf{S} ) - \mathcal{Q} (j,\mathsf{S} )}_{\sum _{k=0}^{n-1} \frac{(2\mathfrak{P})^{k}}{2\times 2^{k}}\Theta }\succeq \phi ^{ \mathsf{S},\mathsf{S},0}_{\Theta }, $$
for each \(\mathsf{S} \in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J,}\) and \(\Theta >0\). That is,
$$\begin{aligned} \Phi ^{\frac{1}{2^{n}}\mathcal{Q} (j,2^{n}\mathsf{S} ) - \mathcal{Q} (j,\mathsf{S} )}_{\Theta }\succeq \phi ^{ \mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{\Theta }{\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(2\mathfrak{P})^{k}}{2\times 2^{k}}}}. \end{aligned}$$
(2.16)
Replacing S by \({2^{m}\mathsf{S}}\) in (2.16), we get
$$\begin{aligned} \Phi ^{\frac{1}{2^{n+m}} \mathcal{Q}(j,2^{n+m}\mathsf{S}) - \frac{1}{2^{m}}\mathcal{Q} (j,2^{m}\mathsf{S} )}_{\Theta } \succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{\Theta }{\sum _{k=m}^{n+m}\frac{(2\mathfrak{P})^{k}}{2\times 2^{k}}}}. \end{aligned}$$
(2.17)
As \(m,n\to \infty \), \(\phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{ \frac{\Theta }{\sum _{k=m}^{n+m}\frac{(2\mathfrak{P})^{k}}{2\times 2^{k}}}}\) tends to \(\nabla ^{0}_{\Theta }\). It implies that the sequence \(\{\frac{1}{2^{n}}\mathcal{Q}(j,2^{n}\mathsf{S} )\}\) is Cauchy for any \(\mathsf{S} \in \Omega _{1}\) and \(j\in \mathcal{J}\). Since \(\Omega _{2}\) is a matrix Menger Banach algebra, the sequence \(\{\frac{1}{2^{n}}\mathcal{Q}(j,2^{n}\mathsf{S} )\}\) converges.
Now, we determine the random operator \(\mathcal{V} :\mathcal{J}\times \Omega _{1}\rightarrow \Omega _{2}\) as follows:
$$ \mathcal{V}(j,\mathsf{S}) : = \lim_{k\to \infty } \frac{1}{2^{k}} \mathcal{Q} \bigl(j,2^{k}\mathsf{S} \bigr) , $$
for each \(\mathsf{S} \in \Omega _{1}\) and \(j\in \mathcal{J}\). Putting \(m =0\) and letting \(n \to \infty \) in (2.17), we get
$$\begin{aligned} \Phi ^{\mathcal{Q}(j,\mathsf{S})- \mathcal{V}(j,\mathsf{S})}_{\Theta } \succeq \phi ^{\mathsf{S},\mathsf{S},0}_{2(1-\mathfrak{P})\Theta } , \end{aligned}$$
(2.18)
for all \(\mathsf{S}\in \Omega _{1}\), \(j\in \mathcal{J,}\) and \(\Theta >0\). Using Theorem 2.2 completes the proof. □