Table 4 Some lower and upper bounds for the spectral norms of \(\pmb{C_{r}^{(k)}}\) for \(\pmb{n=5}\) and \(\pmb{|r|<1}\)
From: On the norms of circulant and r-circulant matrices with the hyperharmonic Fibonacci numbers
| r |<1 | \(\boldsymbol {\frac{| r|}{\sqrt{n}}\mathbb{F}_{n-1}^{(k+1)}}\) | \(\boldsymbol {\| C_{r}^{(k)}\|_{2}}\) | \(\boldsymbol {\sqrt{n-1}\mathbb{F}_{n-1}^{(k+1)}}\) | |
|---|---|---|---|---|
k = 1 | r = −0.5 | 1.863389981 | 6.051069352 | 16.66666667 |
r = 0.1 | 0.372677996 | 5.912862964 | 16.66666667 | |
r = 0.9 | 3.354101966 | 7.874554252 | 16.66666667 | |
k = 2 | r = −0.5 | 3.987654558 | 13.14607243 | 35.66666667 |
r = 0.1 | 0.797530912 | 12.64953828 | 35.66666667 | |
r = 0.9 | 7.177778206 | 16.74610810 | 35.66666667 | |
k = 3 | r = −0.5 | 7.229953125 | 24.39979647 | 64.66666667 |
r = 0.1 | 1.445990625 | 23.46328510 | 64.66666667 | |
r = 0.9 | 13.01391563 | 30.26866878 | 64.66666667 | |
k = 4 | r = −0.5 | 11.81389248 | 40.74250279 | 105.6666667 |
r = 0.1 | 2.362778496 | 39.32798158 | 105.6666667 | |
r = 0.9 | 21.26500646 | 49.37728355 | 105.6666667 |