Skip to main content

Table 10 Some convolution formulas

From: Bernoulli numbers, convolution sums and congruences of coefficients for certain generating functions

Convolution sum

Convolution formula

∑ k = 1 N σ 1 (2k) σ 5 (2N−2k)

1 8 , 568 [ 4 { 85 σ 7 ( 2 N ) − 4 , 032 σ 7 ∗ ( N ) } − 357 ( 4 N − 1 ) σ 5 ( 2 N ) + 17 σ 1 ( 2 N ) − 105 { b ( 2 N ) − 64 b ( N ) } ]

∑ k = 1 N σ 3 (2k) σ 3 (2N−2k)

1 2 , 040 { 17 σ 7 ( 2 N ) − 960 σ 7 ∗ ( N ) − 17 σ 3 ( 2 N ) + 15 b ( 2 N ) − 960 b ( N ) }

∑ k = 1 N σ 1 (2k) σ 7 (2N−2k)

1 14 , 880 { 341 σ 9 ( 2 N ) − 65 , 280 σ 9 ∗ ( N ) − 620 ( 3 N − 1 ) σ 7 ( 2 N ) − 31 σ 1 ( 2 N ) − 6 , 720 l ( 2 N ) + 1 , 720 , 320 l ( N ) − 210 c ( 2 N ) + 53 , 760 c ( N ) }

∑ k = 1 N σ 3 (2k) σ 5 (2N−2k)

1 156 , 240 { 341 σ 9 ( 2 N ) − 80 , 640 σ 9 ∗ ( N ) − 651 σ 5 ( 2 N ) + 310 σ 3 ( 2 N ) + 10 , 080 l ( 2 N ) − 25 , 80 , 480 l ( N ) + 315 c ( 2 N ) − 80 , 640 c ( N ) }

∑ k = 1 N σ 5 (2k) σ 5 (2N−2k)

1 174 , 132 { 65 σ 11 ( 2 N ) − 64 , 512 σ 11 ∗ ( N ) + 691 σ 5 ( 2 N ) − 693 τ ( 2 N ) − 108 , 108 τ ( N ) + 44 , 642 , 304 τ ( N 2 ) }

∑ k = 1 N σ 1 (2k) σ 9 (2N−2k)

1 912 , 120 [ 3 { 4 , 550 σ 11 ( 2 N ) − 3 , 491 , 840 σ 11 ∗ ( N ) } − 7 , 601 ( 12 N − 5 ) σ 9 ( 2 N ) + 3 , 455 σ 1 ( 2 N ) + 3 { − 7 , 359 τ ( 2 N ) + 3 , 087 , 216 τ ( N ) + 1 , 233 , 272 , 832 τ ( N 2 ) } ]

∑ k = 1 N σ 3 (2k) σ 7 (2N−2k)

1 331 , 680 [ 3 { 91 σ 11 ( 2 N ) − 87 , 040 σ 11 ∗ ( N ) } − 1 , 382 σ 7 ( 2 N ) − 691 σ 3 ( 2 N ) + 3 { 685 τ ( 2 N ) − 21 , 480 τ ( N ) − 67 , 133 , 440 τ ( N 2 ) } ]